Кыдыралиев Сыргак Капарович – канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математических методов и исследований операций в экономике экономического факультета Кыргызско-Российского Славянского университета им. Б.Н. Ельцина, г. Бишкек, тел.: +996-559 944188, е-mail: syrgakkyd@mail.ru
Урдалетова Анаркуль Бурганаковна – канд. физ.-мат. наук, профессор Кыргызско-Турецкого университета «Манас», г. Бишкек, тел.: +996-558 844088, e-mail: anarkul.urdaletova@manas.edu.kg
Забинякова Ольга Борисовна – ученый секретарь, мл. науч. сотр. лаборатории глубинных магнитотеллурических исследований Федерального государственного бюджетного учреждения науки Научная станция Российской академии наук в г. Бишкеке, Кыргызская Республика, тел.: +996-555 666592, e-mail: perah.92@inbox.ru
НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ
Уравнениям Риккати в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, возможно, посвящено наибольшее количество работ. По нашему мнению, это объясняется двумя основными причинами. Во-первых, уравнения Риккати используются при математическом описании громадного количества задач алгебраической геометрии, теории вполне интегрируемых гамильтоновых систем, вариационном исчислении, теории конформных отображений, квантовой теории поля. Во-вторых, также, как и в случае Великой Теоремы Ферма, имеет место довольно простая формулировка задачи: требуется получить решения обыкновенного дифференциального уравнения y′= a(x)+ b(x)y + c(x)y2 . Показано, что довольно широкий класс уравнений Риккати, которые можно проинтегрировать в квадратурах, можно выделить явным образом, использовав то, что правая часть уравнения является квадратным трехчленом относительно неизвестной функции.
Keywords in Russian:обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка; уравнения Риккати; интегрируемость в квадратурах; магнитотеллурический импеданс в одномерной геологической среде; новый метод решения
КВАДРАТУРАЛАРГА ИНТЕГРАЦИЯЛАНГАН АЙРЫМ РИККАТИ ТЕҢДЕМЕЛЕРИ
Кадимки дифференциалдык теңдемелер теориясында Риккати теңдемелерине, эң көп эмгектер арналышы мүмкүн. Биздин оюбузча, бул эки негизги себеп менен түшүндүрүлөт. Биринчиден, Риккати теңдемелери алгебралык геометриянын, толук интегралдык Гамильтон системаларынын теориясынын, вариациялардын эсептөөлөрүнүн, конформдык карталардын теориясынын жана талаанын кванттык теориясынын көп сандаган маселелерин математикалык сүрөттөөдө колдонулат. Экинчиден, Ферманын Улуу теоремасы сыяктуу эле, маселенин жөнөкөй туюндурмасы ишке ашат: кадимки дифференциалдык тендемени y′= a(x)+ b(x)y + c(x)y2 чыгаруу талап кылынат. Квадратураларга интеграциялануучу Риккати теңдемелеринин кыйла кеңири классын, теңдеменин оң тарабы белгисиз функцияга салыштырмалуу квадраттык триномия экендигин колдонуп, бөлүп көрсөтүүгө болот.
Keywords in Kyrgyz:биринчи тартиптеги кадимки дифференциалдык теңдемелер; Риккати теңдемелери; квадратураларга интеграциялануу; бир өлчөмдүү геологиялык чөйрөдөгү магнитотеллуралык импеданс; чыгаруунун жаңы ыкмасы
SOME RICCATI EQUATIONS, INTEGRABLE IN QUADRATURES
The Riccati equations in the theory of ordinary differential equations are the subject of the largest number of works, perhaps. In our opinion, there are two main reasons for this popularity. Firstly, the Riccati equations are used in the mathematical description of a huge number of problems in algebraic geometry, the theory of completely integrable Hamiltonian systems, the calculus of variations, the theory of conformal mappings, quantum field theory. Secondly, just as in the case of Fermat’s Last Theorem, there is a rather simple formulation of the problem: it is required to obtain solutions to an ordinary differential equation y′= a(x)+ b(x)y + c(x)y2 . It is shown that a fairly wide class of Riccati equations that can be integrated in quadratures can be distinguished by explicitly using the fact that the right side of the equation is a quadratic trinomial with respect to an unknown function.
Keywords in English:first-order ordinary differential equations; Riccati equations; integrability in quadratures; magnetotelluric impedance in one-dimensional geological area; new method of solving