Абдылдаева Эльмира Файзулдаевна – канд. физ.-мат. наук, доцент отделения математики факультета естественных наук Кыргызско-Турецкого университета «Манас», тел.: +996-709 488606, e-mail: elmira.abdyldaeva@manas.edu.kg
Осмонова Эльвира – магистрант отделения математики Института естественных наук, Кыргызско-Турецкого университета «Манас», тел.: +996-707 686886, e-mail: el0smnva@gmail.com
Каныбек кызы Мархаба – студент отделения математики факультета естественных наук Кыргызско-Турецкого университета «Манас», тел.: +996-779 230299, e-mail: 1712.03004@manas.edu.kg
ОБ УСЛОВИЯХ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧЕ МИНИМИЗАЦИИ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА
Исследован кусочно-линейный функционал, определенный на множестве решений краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения с интегральным оператором Фредгольма. Рассматривается колебательный процесс, происходящий под действием граничных внешних сил. Показано обобщенное решение краевой задачи управляемого процесса. Отмечено, что процесс, описываемый краевой задачей, является управляемым, если существует хотя бы одно управление, при котором краевая задача имеет решение. С учетом того, что между элементами пространства управлений и пространства состояний управляемого процесса существует взаимно однозначное соответствие, вычислено приращение функционала и выписана функция Гамильтона–Понтрягина. Далее эта функция исследована на максимум, и как следствие, получены соотношения для определения оптимальности управления, которые называются условиями оптимальности. Однако эти условия оказались непригодными для определения оптимального управления, т. е. было установлено, что при минимизации кусочно-линейного функционала принцип максимума вырождается. Тем не менее попытка определения оптимального управления привела к выводу уравнений, с помощью которых могут могут быть определены особые оптимальные управления.
Ключевые слова на русском языке:краевая задача; кусочно-линейный функционал; обобщенное решение; условие оптимальности; принцип максимума; оптимальное управление
БӨЛҮК-СЫЗЫКТУУ ФУНКЦИОНАЛДЫ МИНИМАЛДАШТЫРУУ МАСЕЛЕСИНДЕ ОПТИМАЛДУУЛУК ШАРТТАРЫ ЖӨНҮНДӨ
Бул макалада Фредгольмдун интегралдык оператору катышкан интегралдык-дифференциалдык теңдеме үчүн коюлган чектик маселенин көптөгөн чыгарылыштарында аныкталган бөлүк-сызыктуу функционал изилдөөгө алынган. Чектешкен тышкы күчтөрдүн таасири менен болгон термелүү процесси каралган. Башкаруу процессинин чектик маселесинин жалпыланган чыгарылышы көрсөтүлгөн. Эгерде чектик маселе чыгарылышка ээ болгон жок дегенде бир башкаруу функциясы болсо, чектик маселе менен сүрөттөлгөн процессти башкарууга болору белгиленген. Башкаруу мейкиндигинин элементтери менен башкарылуучу процесстин абал мейкиндигинин ортосунда бири-бирине дал келүүчүлүгүн эске алуу менен, функционалдык өсүш эсептелген жана Гамильтон–Понтрягин функциясы жазылган. Андан ары бул функция максималдуу изилденген, жана анын натыйжасында башкаруунун оптималдуулугун аныктоо үчүн шайкештиктер алынган, алар оптималдуулук шарттары деп аталат. Бирок бул шарттар оптималдуу башкарууну аныктоо үчүн жараксыз болуп чыкты, башкача айтканда бөлүк-сызыктуу функцияны минималдаштырууда максималдуу принцип начарлап кетери аныкталды. Ошондой болсо да, оптималдуу башкаруу функциясын аныктоого жасалган аракеттердин натыйжасында өзгөчө оптималдуу башкаруу функцияларын аныктай турган теңдемелер алынды.
Ключевые слова на кыргызском языке:чектик маселе; бөлүк-сызыктуу функционал; жалпыланган чыгарылыш; оптималдуулук шарттары; максимум принциби; оптималдуу башкаруу
ON OPTIMALITY CONDITIONS IN THE MINIMIZATION PROBLEM OF PIECEWISE LINEAR FUNCTIONAL
In the paper, the piecewise linear functional defined on the set of solutions of boundary value problem for the integrodifferential equation with Fredholm integral operator is investigated. An oscillatory process under the influence of boundary external forces is considered. In the study, information on the generalized solution of the boundary value problem for controlled process is presented, at first. Note that the process described by boundary value problem is controllable, if there is at least one control at which boundary value problem has a solution. It is noted that the generalized solution of boundary value problem is an element of Hilbert space of square-summable functions. Taking into account the fact that there is a one-to-one correspondence between elements of control space and state space of the controlled process, the functional increment is calculated and the Hamilton-Pontryagin function is obtained. Further, maximum of Hamilton-Pontryagin function is investigated, and as a consequence, relations for determining the optimality of control are obtained, which are called optimality conditions. However, these conditions turned out to be unsuitable for determining the optimal control, i.e. it is established that the maximum principle degenerates while minimizing piecewise linear functional. However, an effort to determine the optimal control has led to equations from which specific optimal controls is determined.
Ключевые слова на английском языке:boundary value problem; piecewise linear functional; generalized solution; optimal control; maximum principle; optimality conditions