Информационный портал
«Вестник КРСУ»

Доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи для уравнения в частных производных четвертого порядка с переменными коэффициентами, содержащего произведение смешанного параболо-гиперболического оператора и дифференциального оператора колебания струны в пятиугольнике на плоскости. Методом понижения порядка уравнений разрешимость краевой задачи сводится к решению задачи Трикоми для смешанного параболо-гиперболического уравнения с переменными коэффициентами. Разрешимость этой задачи сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода относительно следа функции на линии изменения типа уравнения. В гиперболической части области методом функции Римана получено представление решения задачи для гиперболического уравнения с младшими членами. В параболической части области методом последовательных приближений и функции Грина получено решение первой краевой задачи для параболического уравнения с младшим членом.

краевые задачи; параболо-гиперболический оператор; интегральные уравнения; функция Римана и Грина

Тегиздиктеги беш бурчтукта аралаш парабола-гиперболалык оператор менен кылдын термелүүсүн мүнөздөөчү дифференциалдык оператордун көбөйтүндүсүн камтыган, өзгөрүлмө коэффициенттери бар төртүнчү тартиптеги жекече туундулуу дифференциалдык теңдеме үчүн чектик маселенин чыгарылышы бар экендиги жана анын жалгыздыгы жөнүндө теорема далилденген. Теңдемелердин тартибин төмөндөтүү ыкмасы менен чектик маселенин чыгарылышы өзгөрүлмө коэффициенттери бар аралаш параболо-гиперболалык теңдеме үчүн Трикоми маселесин чыгарууга алып келет. Бул маселенин чыгарылышы теңдеменин түрүнүн өзгөрүү сызыгындагы функциянын изи боюнча экинчи түрдөгү Фредгольм интегралдык теңдемесин чыгарууга чейин төмөндөйт. Риман функциясынын ыкмасы менен аймактын гиперболалык бөлүгүндө кенже мүчөлөр менен гиперболалык теңдеме үчүн маселени чыгаруу идеясы алынган. Аймактын параболалык бөлүгүндө ырааттуу жакындаштыруу ыкмасы жана Грин функциясы кенже мүчө менен параболалык теңдеме үчүн биринчи чектик маселенин чечилишин алат.

чектик маселе; парабола-гиперболалык оператор; интегралдык тендемелер; Риман жана Грин функциялары

A theorem on the existence and uniqueness of a solution to a boundary value problem for a fourth-order partial differential equation with variable coefficients, containing the product of a mixed parabolic-hyperbolic operator and a differential operator of string oscillations in a bounded pentagon of a two-dimensional plane, is proved. By the method of lowering the order of equations, the solvability of the boundary value problem is reduced to solving the Tricomi problem for a mixed parabolic-hyperbolic equation with variable coefficients. The solvability of this problem is reduced to solving the Fredholm integral equation of the second kind with respect to the trace of the function on the line of change in the type of the equation. In the hyperbolic part of the domain, the Riemann function method is used to obtain a representation of the solution of the problem for a hyperbolic equation with lower terms. In the parabolic part of the domain, the Green’s function method and successive approximations are used to solve the first boundary value problem for a parabolic equation with a minor term.

boundary value problems; parabolic-hyperbolic operator; integral equations; Riemann and Green’s function